球与花瓶悖论（罗斯·利特尔伍德悖论）

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球与花瓶悖论是1953 年由英国数学家利特尔伍德在他的书《一个数学家的集锦》中首先提出的。

1976 年谢尔登·罗斯在他的《概率论第一课》又一次介绍了这个问题，所以它又被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”。

假设我们有无限个球和一个花瓶，现在我们要对它们进行一系列操作。

每次操作都是一样的：往花瓶里放 10 个球，然后取出 1 个球。

那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

有人或许会说，这个问题显然是荒谬的——这个过程需要耗费无穷的时间，我们不可能等到那个时候。

那么，我们不妨换一个问法，避开所需时间无穷的问题：在差一分钟到正午 12 点时进行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分钟）到正午 12 点时进行第 2 次操作，在差 1/2 n-1 分钟到 12 点时进行第 n 次操作。

那么，12 点的时候，花瓶里有几个球呢？

看似简单的描述，经过数学家的解释，却出现了千奇百怪的答案。

最直观的答案当然就是花瓶里有无限个球了，因为每次都增加了 9 个球，无限次之后，当然有无限个球。

数学家 Allis 和 Koetsier 却不这么认为。

他们认为，12 点时瓶子里没有球，因为我们第 1 次放进 1 至 10 号球，然后取出 1 号球，第 2 次放入 11 至 20 号球，然后取出 2 号球⋯⋯

注意到，n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了，因此无限操作下去，每个球都会被取出来！

只要你细心，你就会发现这个说法也有问题：前面的证明假设我们取出的依次是 1 号球、2 号球、3 号球等等，如果我们改成依次取 10 号球、20 号球、30 号球，那么最后瓶子里又出现了无限个球了。

哪种观点是正确的呢？

于是逻辑学家詹姆斯·亨勒和托马斯·泰马祖科认为，花瓶里有任意个球。

他们还给出了具体的构造方法，说明最终花瓶里的球可以是任意数目。